說三道四話統計—相關分析(correlation analysis)

雖是已退休多年，但仍不時有昔日學生捎來一些「難題」，測試我這蟄居老叟是不是還心清腦明，看來科學的進展雖是驚人，但是「難題」的困擾卻仍舊"守恆"得很呵！這次就先來話說"correlation coefficient"的「結」吧！

當研究者要比較兩組或三組以上樣本的「平均數(mean)」是否有顯著差異時，一般都會用t-test 或ANOVA和「事後比較檢定(post hoc test)」進行多重比較(multiple comparisons)來檢定，檢定結果則以p值是否小於選定的顯著水準(如p＜0.05)來判斷；若p值小於0.05顯著水準，就標記一個星號(*)，表示平均數之間有"顯著"差異；若p值小於0.01或0.001顯著水準，則分別標記二個星號(**)或三個星號(***)，表示平均數之間有"極顯著"差異。

上面的統計分析方法大家都懂也都會用，於是許多研究者就「舉一反三」，於進行積差相關(Pearson product-moment correlation)統計來探討兩個變項的線性關係時，計算出相關係數(coefficient of correlation, r)後，也依樣畫葫蘆，查一下顯著性，然後在研究報告的統計結果分析表上，達顯著水準的r值，分別標記星號(*)、(**)、(***)，並加上〈*p<0.05, **p<0.01, ***p<0.001〉或〈*顯著，**極為顯著，***非常顯著〉的註記。雖然這是許多研究者常用之表達"相關(correlation)"統計分析結果的方式，但是這樣做，你有沒有發現，在同一論文中，有可能r=0.44，標註p＜0.05，但r=0.21，卻標註p＜0.01，亦即較大的r是「顯著」，較小的r卻是「極為顯著」，你不覺得很奇怪嗎？

在相關係數(r)上標註星號(*)、(**)、(***)，加上〈*p<0.05、**p<0.01、***p<0.001〉有必要嗎？這樣做代表什麼意義？有沒有比較合宜的詮釋方式？這是一項頗值得仔細思量的議題！

每一種統計方法都有其基本假定和應用的情境與竅門，做為一位研究者，雖然你不一定要是統計專家，但至少應該要知道這些基本假定和應用的情境，才不會誤用統計方法，甚至錯誤的解釋統計結果。下面就列出一些在進行「相關分析(correlation analysis)」時，值得深思討論的議題。

1. 「相關分析」是用來檢驗兩個變項之間是否有線性關係的統計方法，那麼相關係數(r)達α=0.05 (或0.01, 0.001)顯著水準是什麼意思？

研究生通常都不太會深入思索這個問題，因為用電腦跑SPSS或SAS很方便，分析結果就在"十指"之間，只要將結果抄下來就好，該思考的問題，套裝軟體都幫你想好了，於是軟體的使用者就愈來愈不需要想以致不曉得怎麼想了！

一般進行「實徵研究(empirical research)」時，由於無法直接證明某項陳述(statement)為真，所以必須進行統計上的「假設考驗(hypothesis test)」，藉拒絕「虛無假設(null hypothesis, H₀)」，來推論「對立假設(alternative hypothesis, H₁)」可能為真。

在實務面，研究者大都習慣以「虛無假設(H₀)」做為論文的「研究假設(research hypothesis)」，然後再以統計方法考驗「虛無假設」是否為真？在進行相關研究(correlational research)的過程中，H₀的陳述通常是「X, Y兩個變項沒有線性關係」，若「假設考驗」的結果達到統計上的顯著水準(p＜0.05或p＜0.01)，表示拒絕(reject)了H₀，而接受(accept)與其對立的「對立假設(H₁)」，即「X, Y兩個變項有線性相關」。其實p值是依據統計值推估H₀為真的機率值(probability)，它的"比較對象"是顯著水準(α)(如α=0.05或0.01, 0.001)，是在統計的過程中，做為判定拒絕H₀、接受H₁的數值。p值愈小，表示檢定的結果(統計值)愈顯著，也顯示"拒絕H₀、接受H₁"的可靠性愈大。

2. 研究者進行「相關分析」時，求得的相關係數(r)若達顯著水準，便會註記星號(*) (如p＜0.05)，那麼r是跟"什麼"比較，達到顯著水準？

t-test是在比較兩個「平均數」是否有顯著差異，比較的結果若達顯著水準(p<0.05)，表示兩者在統計上有顯著差異，而拒絕了「兩個平均數沒有顯著差異」的「虛無假設H₀」。那麼，相關分析所得之相關係數(r)，在進行顯著性考驗時的"比較對象"為何？這是很多研究者平常不太會去注意的問題，因為跑完SPSS，列出的r便已註明是否達顯著水準，甚至還註記了p<0.05或0.01或0.001，研究者只要照抄下來即可，哪還需費心去思考「r是跟"什麼"比較達到顯著水準？」這件無關痛癢的事！

進行「相關統計分析」時，r的大小需經顯著性考驗來檢定是否達顯著水準，顯著性考驗(如SPSS的統計分析程序)檢定的是H₀ (無相關或r=0)，所以，在統計分析的過程中，相關係數(r)是跟r=0 (無相關)比較，若達顯著水準，代表r值和r=0有顯著差異，亦即表示在統計的意義上，兩個變項之間有線性相關存在。

3. 撰寫研究報告時，相關係數(r)需要標記一個星號(*)(p＜0.05)、兩個星號(**)(p＜0.01)或三個星號(***)(p＜0.001)嗎？

在相關(correlation)的推論統計中，相關係數(r)的顯著性與樣本數的大小有關。若樣本數小(如N=25)，縱使r並不小，但仍可能未達顯著水準；若樣本數大(如N=300)，即使r很小，也可達到統計上的顯著水準。正如前述，你可能會發現，在同一研究報告中，有可能r=0.44，標上p＜0.05，但r=0.21，卻標上p＜0.01，亦即r較大的是「顯著」，r較小的卻是「極為顯著」！因此，相關係數(r)標記一個星號(*)(p＜0.05)、兩個星號(**)(p＜0.01)和三個星號(***)(p＜0.001)，並加上〈*顯著、**極為顯著、***非常顯著〉的註記不但沒有什麼意義，甚至還可能讓論文讀者產生誤解。假若要標註顯著水準，建議也僅擇一顯著水準(如p＜0.05)標註就好，不宜在「研究結果」分析表上，同時標記(*)、(**)、(***)！

4. 詮釋相關係數(r)需要特別小心注意的事！

在解釋相關係數(r)有多大意義時，假若樣本數(N)的大小還算合理，除了解釋兩個變項是否有顯著相關(r是否達顯著水準)外，更重要的是要看r的大小，因為r的大小顯示了兩個變項之間線性關係的強弱程度。通常我們可以依據下表來解釋：

Coefficient ( r )	Interpretation
0.00～0.20	Indifferent, Negligible Relationship
0.20～0.40	Low Correlation
0.40～0.70	Substantial, Marked Relationship
0.70～1.00	High, Significant Relationship

此外，兩個變項之間相關的強弱是取決於「決定係數(Coefficient of Determination, r²)」，即相關係數的平方，而不是r上註記的星號(*)數，也就是說標記三個星號(***)(p＜0.001)的r的相關性，並不見得一定就比標記一個星號(*)(p＜0.05)的r的相關性強。「決定係數(r²)」顯示這兩個變項共有的"變異量" (amount of variance common to the two measures)所佔的比率，例如：假若X變項與Y變項的相關r=0.60 (p<0.05)，表示X和Y變項間有顯著的正相關；而「決定係數」r²=0.36，表示兩個變項共有的"變異量"有36%，亦即「Y變項的變異量中，可被X變項解釋的變異量達36%」，反之亦然。

最後，還需要特別小心的是，詮釋相關係數時，達顯著相關只是顯示兩個變項有共變的現象("變異量"有部分重疊)，千萬不可做任何因果關係的推論。

祝大家  統計順手！研究順心！

蟄居老叟@新店科芬園 (2020.06.30.)